Verbes homonymes, les verbes « bailler », bâiller » et « bayer » ont un sens et une étymologie différents.

Le verbe « bailler« 

Dérivé du latin « bajulare » (porter sur son dos ou dans ses bras / administrer), le verbe bailler apparu au XVè siècle est employé dans des expressions familières « bailler belle » ou « bailler bonne » signifiant « essayer de faire croire » ou comme terme juridique (« donner, mettre à la disposition de quelqu’un »). On dit ainsi « bailler par contrat » (donner par testament). On parle de « bailleur de fonds  » (personne qui fournit les capitaux). L’expression ancienne « bailler à quelqu’un le lièvre par l’oreille » veut dire « tromper quelqu’un au moyen de vaines promesses ».

Le verbe « bâiller »

Dérivé du latin « badare » ou « batare », ces verbes sont construits à partir de l’onomatopée « bat » utilisée pour imiter le bruit d’un bâillement. L’usage de l’accent circonflexe est une réminiscence de sa première orthographe au XIIe siècle, s’écrivant « bäaillier » (soupirer après quelque chose). Différentes expressions utilisent ce verbe : « bâiller d’ennui », « bâiller comme une carpe » ou « bâiller à s’en décrocher la mâchoire ».

Le verbe « bayer »

Dérivé également du verbe latin « batare » (tenir la bouche ouverte) et de l’ancien français « baer », cette ancienne forme signifiant «s’ouvrir», «demeurer la bouche ouverte dans une attitude passive d’étonnement, d’admiration, etc.» est de moins en moins utilisée, excepté dans les expressions « bayer aux corneilles ou aux grues »(« être dans les nuages », perdre son temps »).

En résumé,

Verbe	Signification
bailler	donner, faire croire
bâiller	ouvrir involontairement la bouche d’un souffle large
bayer	demeurer la bouche ouverte dans une attitude passive d’étonnement, d’admiration, etc (variante « de bouche bée« )